В книге изложены основные понятия и идеи, используемые для преобразования математических моделей к виду, удобному для вычисления с помощью компьютера. Изложение ведется на материале вычислительных задач математического анализа, алгебры и дифференциальных уравнений. Впервые в учебной литературе отражен метод разностных потенциалов для численного решения краевых задач математической физики. Для студентов и преподавателей механико-математических и физических факультетов университетов, МФТИ, МИФИ, технических вузов. Рекомендовано Учебно-методическим объединением высших учебных заведений Российской Федерации по образованию в области прикладных математики и физики в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений по направлению «Прикладные математика и физика».
Введение Дискретизация Обусловленность Погрешность О методах вычисления
Табличное задание и интерполяция функций. Квадратуры
Алгебраическая интерполяция Существование и единственность интерполяционного многочлена Классическая кусочно многочленная интерполяция Кусочно многочленная гладкая интерполяция (сплайны) Интерполяция функций двух переменных
Тригонометрическая интерполяция Интерполяция периодических функций Интерполяция функций на отрезке. Связь между алгебраической и тригонометрической интерполяциями
Вычисление определенных интегралов. Квадратуры Квадратурные формулы трапеций и Симпсона Сочетание численных и аналитических методов при вычислении интегралов с особенностями Кратные интегралы
Системы скалярных уравнений
Системы линейных алгебраических уравнений. Методы отыскания точного решения Формы записи совместных СЛАУ Нормы Обусловленность СЛАУ Методы исключения Гаусса Связь между задачей на минимум квадратичной функции и СЛАУ Метод сопряженных градиентов как метод точного решения СЛАУ Конечные ряды Фурье и запись точного решения разностного аналога задачи Дирихле для уравнения Пуассона
Методы последовательных приближений (итерационные методы) решения систем линейных алгебраических уравнений Методы простых итераций Метод Чебышёва и метод сопряженных градиентов
Переопределенные СЛАУ. Метод наименьших квадратов Примеры задач, приводящих к переопределенным СЛАУ Переопределенные СЛАУ и обобщенные решения в общем случае
Численное решение нелинейных скалярных уравнений и систем уравнений Метод простых итераций Метод линеаризации Ньютона
Метод конечных разностей для численного решения дифференциальных уравнений
Численное решение задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Примеры разностных схем. Сходимость Аппроксимация дифференциальной краевой задачи разностной схемой Определение устойчивости разностной схемы. Сходимость как следствие аппроксимации и устойчивости Схемы Рунге-Кутты Методы решения краевых задач
Разностные схемы для уравнений с частными производными Основные определения и их иллюстрация Некоторые приемы построения аппроксимирующих разностных схем Спектральный признак устойчивости разностной задачи Коши Принцип замороженных коэффициентов Явные и неявные разностные схемы для уравнения теплопроводности
Понятие о разрывных решениях и способах их вычисления Дифференциальная формулировка интегрального закона сохранения Построение разностных схем
Разностные методы для эллиптических задач Аппроксимация и устойчивость простейшей разностной схемы Понятие о методе конечных элементов Вычисление решений сеточных аналогов краевых задач Многосеточный метод Федоренко
Методы граничных уравнений для численного решения краевых задач
Граничные интегральные уравнения и метод граничных элементов для их численного решения Способы редукции краевых задач к ГИУ Граничные элементы и дискретизация ГИУ Область применимости ГИУ для численного решения краевых задач
Метод разностных потенциалов Постановка модельных задач Разностные потенциалы Решение модельных задач
